def count_change (amt, denoms):
    ways = [0] * (amt + 1)
    ways[0] = 1
    for denom in denoms:
        for j in range(denom, amt + 1):
            ways[j] += ways[j - denom]
    return ways[amt]

print(count_change(6, [1, 2, 3]))

>>> denom 1
j 1
ways [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
denom 1
j 2
ways [1, 1, 1, 0, 0, 0, 0]
denom 1
j 3
ways [1, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
denom 1
j 4
ways [1, 1, 1, 1, 1, 0, 0]
denom 1
j 5
ways [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
denom 1
j 6
ways [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
denom 2
j 2
ways [1, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
denom 2
j 3
ways [1, 1, 2, 2, 1, 1, 1]
denom 2
j 4
ways [1, 1, 2, 2, 3, 1, 1]
denom 2
j 5
ways [1, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
denom 2
j 6
ways [1, 1, 2, 2, 3, 3, 4]
denom 3
j 3
ways [1, 1, 2, 3, 3, 3, 4]
denom 3
j 4
ways [1, 1, 2, 3, 4, 3, 4]
denom 3
j 5
ways [1, 1, 2, 3, 4, 5, 4]
denom 3
j 6
ways [1, 1, 2, 3, 4, 5, 7]
7

 0 1 2 3 4 5 6
[1,1,1,1,1,1,1]
[1,1,2,1,1,1,1]
[1,1,2,2,1,1,1]
[1,1,2,2,3,1,1]
[1,1,2,2,3,3,1]
[1,1,2,2,3,3,4]

def memoize(f):
    memo = {}
    def inner(x):
        if x not in memo:
            memo[x] = f(x)
        return memo[x]
    return inner

@memoize
def fib_recur(x):
    if 0 <= x <= 1:
        return x
    return fib_recur(x - 1) + fib_recur(x - 2)

def fib_iter(x):
    memo = {0: 0, 1 : 1}
    for i in range(x + 1):
        if i not in memo:
            memo[i] =  memo[i - 1] + memo[i - 2]
    return memo[x]

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